Magic Square

Magic square of order n, atau  dalam bahasa Indonesia disebut bujursangkar ajaib order n, adalah bujursangkar yang berisi angka-angka 1, 2, 3, …, n²  dimana jumlah masing-masing baris dan masing-masing kolom, serta diagonalnya sama.

 Contoh magic square adalah:

Magic square order 3

Gambar aku pinjam dari sini

Seringkali bujur sangkar ajaib ini menjadi soal waktu sekolah, atau menjadi rekreasi otak bagi mereka yang senang dengan angka.

Untuk mereka yang tertantang untuk membuat magic square, ada baiknya jangan melanjutkan membaca tulisan singkat ini, karena akan ada metode penyelesaiannya, sehingga “rahasia”nya terbongkar, dan bisa jadi kurang menarik lagi.

 

Untuk order yang tidak terlalu besar, 3 misalnya, mungkin masih bisa dengan cara “coba-coba” mengisikan angka-angka pada kotak yang ada. Namun untuk order yang cukup besar, kiranya perlu metode yang lebih sistematis untuk menyelesaikannya.

Sebenarnya ada beberaca cara menyelesaikan magic square, tulisan ini hanya mengungkap beberapa saja. Jika ingin tahu lebih banyak, bisa baca di Mathematical Recreation and Essays karangan W.W. Rouse Ball, revisi oleh H.S.M Coxeter (New York: Macmillan, 1962, halaman 193-221)

Untuk mengisi magic square, pada prinsipnya adalah meletakkan angka 1, 2, 3, 4,…, n²   dst secara berurutan. Masalahnya adalah dimana angka-angka tersebut diletakkan?

Berikut ini beberapa aturan pengisian untuk beberapa kondisi berbeda. (Harap diingat, ini bukan satu-satunya metode, ada banyak cara lain).

Kondisi 1:

Magic Square order n, dengan n bilangan ganjil.

Ikuti kaidah berikut:

  • Letakkan angka 1 pada baris pertama kolom tengah, dan selanjutnya bergerak ke kanan atas.
  • Jika mencapai baris pertama, maka urutan berikutnya adalah di baris paling bawah kolom berikutnya
  • Jika mencapai kolom paling kanan, maka urutan berikutnya adalah di kolom paling kiri baris di atas nya.
  • Jika mentok (misal karena kotaknya sudah terisi atau mencapai sudut kanan atas), maka urutan selanjutnya adalah tepat di bawah kotak terakhir.

 Sehingga bisa diilustrasikan sebagai berikut:

Magic square order 5

Gambar saya pinjam dari sini

Bagaimana untuk Magic Square order n, dngan n bilangan genap. Dimana tengahnya?

Metode diatas tidak bisa diaplikasikan untuk n bilangan genap.

Kondisi 2:

Magic Square order n, dengan n bilangan genap, dan n dapat dinyatakan sebagai n=4m (misalnya: 8, 12, 16, dst)

Ikuti kaidah berikut:

  • Bagi Magic Square menjadi beberapa kotak 4×4
  • Buat Garis diagonal di masing-masing kotak 4×4
  • Letakkan angka 1, 2, 3, dst berurutan mulai dari baris pertama kolom pertama ke kanan, jika sdh sampai kotak paling kanan, lanjutkan dengan kotak pada baris kedua, kolom pertama. Demikian selanjutnya sampai angka n2 berada di sudut kanan bawah. (lihat ilustrasi dibawah)
  • Untuk setiap angka yang terkena garis diagonal, diganti dengan angka (n +1)isi kotak semula.
  • Contoh dalam ilustrasi:
    • 1 diganti dengan 64, 64 berasal dari (8²+1)-1
    • 4 diganti dengan 61, 61 berasal dari (8²+1)-4
    • 5 diganti dengan 60, 60 berasal dari (8²+1)-5

Mudah bukan?

Kondisi 3:

Magic Square, order n, dengan n bilangan genap, dan n dapat dinyatakan sebagai n=4m+2 (misal : 10, 14, 18, dst) 

Ikuti kaidah berikut ini:

  • Bagi Magic Square menjadi kotak 2×2, untuk mudahnya kita sebut sebagai sel.
  • Masing-masing sel akan kita isi dengan angka sesuai dengan urutan L, U, atau X.
  • Adapun urutan L, U, dan X adalah urutan pengisian untuk masing-masing sel dengan urutan:

Urutan pengisian masing-masing sel 2×2

 

  • Jika kita perhatikan, seolah-olah sel-sel yang ada (ukuran 2×2) membentuk semacam maqic square juga dengan order ganjil
  • Isi masing-masing sel dengan angka (dengan urutan L,U atau X) dengan kaidah pengisian seperti urutan kaidah untuk magic square ganjil.
  • Bagiamana menentukan urutan yang sesuai (L,U, atau X) bagi suatu sel tertentu?
  • Kaidah untuk menentukan L,U, atau X adalah:
    • Magic square order 4m+2, akan mempunyai m+1 baris L, 1 baris U, dan m-1 baris X
    • Sel yang terletak di tengah (baris tengah, kolom tengah) yang ”seharusnya” L diganti dengan U, dan sel yang tepat dibawahnya yang ”seharusnya” U diganti dengan L.

Magic square order 14

Mudah bukan…?

 Silakan coba dilanjutkan magic square order 14-nya…. yang berhasil tentu akan mendapatkan tali asih kepuasan sendiri.

Selamat bermain-main dengan Magic Square

17 thoughts on “Magic Square

    • Wah kalo yg satu ini mah emang jagonya matematika…. kalo cuma ngisi magic square aja tentu bukan perkara susah n gk perlu diingat2 lagi…🙂
      Dulu waktu aku kuliah cuma sempat dibahas sekilas dlm kuliah kombinatorik

  1. nah, saya mau tanya Pak, saya dihajar habis2an ma angka 1-8.
    “Letakkan angka 1-8 pada kotak dibawah ini dengan syarat tidak ada angka yang berurutan berdekata”
    ____
    .___|___|___
    |___|___|___|
    |___|___|___|
    |___|___|___|
    |___|
    gimana pak? 😦

    saya bener2 kebingungan, karena cuman dapat empat yang tidak sam letaknya. setelah itu, selalu ada bilangan yang berdampingan minimal 1.

    • maksudnya berdekatan apa ya? kanan-kiri, atas-bawah, atau termasuk diagonalnya? kalo termasuk diagonalnya kayaknya sih tidak akan bisa. Kenapa tidak bisa mungkin bisa didekati dengan pigeon holes principle..

      tp kalo diagonalnya tdk termasuk, bisa saja…

      salam,

  2. bisa mintak tolong share rumus untuk menghitung jumlah ajaib dari setiap baris. kalau ada model rumus menghitungX lebih dari satu yaw. makasih.

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s